とにかく口が臭いのです歯磨きもできなくて歯周病？なの…

とりあえず一回動物病院で見てもらったほうがいいかと思います。
歯石からきてる口臭なら歯石除去手術が１番いいと思いますが、おっしゃる通り麻酔をかけないといけないので、10歳だとやれるかどうか…。

無麻酔で歯石除去してくれるサロンもありますが、それもそこそこのお値段するので、治療費も心配ならいっそ麻酔下で歯石除去手術して奥歯までスッキリ綺麗にした方がコスパ的にはいいかもです。
無麻酔だと奥歯まで一回でスッキリ綺麗にならないこともあるので。
お大事にしてください。