家を出る時にすごく吠えて、ドアの前で通せんぼみたいなことをす…

「いかないで！」て邪魔してる感じですね。
うちの犬も、鞄を持つとか人が出かける気配を感じると連れてけ連れてけと吠えたり周りをグルグルするので、困る気持ちがわかります。

とおせんぼしたり吠える前におやつで気を引いてますか？
じゃないと「とおせんぼしたり吠えたりする→おやつもらえる」と関連づいてしまうので、「ケージやクレートへハウス→おやつもらえる→おやつに夢中になってたら飼い主いない」の順になるように徹底したほうがいいです。

うちはハウスのコマンドかけたら一縷の望みをかけてキャリーバッグへ一緒にお出かけできるかも！って駆け込んでくので、そこからおやつと共にケージへ。
うちはお留守番はケージでなので柵をしめて、おやつを食べてるの見守りながら最終準備してますが、そうなったらもう無理と犬もわかってるのでおとなしくケージで丸まってます。
ただ、犬は一緒にいたいよ！って気持ちで邪魔してると思うので、振り払うのもつらいですよね…。