水を飲んでいる時に猫が手を濡らしてその手を口に入れて水を飲ん…

水の入れ物の高さによって、飲みづらいと感じます。
高ければ背を伸ばして飲む。毛づくろいと同時に水を飲んだかと

そのようにして水を飲む猫ちゃんは割と多いようです！
なので病気ではないと思います。我が家の猫も一時期水に手を突っ込んでなめてみたりしていましたが、そういえばいつの頃からかやらなくなりましたね。
猫ちゃんが手で水を飲むのにはいくつか理由があるときいたことがあります。水遊びが好きだったり、ひげが容器のフチに当たるのが嫌だったり、ただ単にそのほうが飲みやすいと思っていたり。視力が悪いので水がどのくらい入っているか確認するため、なんて話もあるようですよ。
ただ、水が汚くて嫌なことをアピールしている、なんて猫ちゃんもいるようですから、念の為お水が汚れていないか確認してあげるのもよいかもですね！