急に食欲不振になったり、目やにが酷く、鼻水も酷くて困ってます…

拾ってきた猫の多くは、猫ヘルペスにかかっているそうです。
唾液からうつり、免疫力が下がると発症する。人間と同じですね。
特徴として、目やにが酷いです。
対処方法は、食事療法くらいしかないそうなので、健康に気を付けるのみ。
目に関しては、塗り薬の目薬を処方してくれますので（1000円～1500円くらい）
処方していただき、完治してしばらくもちゃんと塗ることで予防にもなります。
うちの子の目やにが出てくると、すかさず塗ってます。

目ヤニや鼻水が出ること自体は不思議ではないですが、その程度が酷いということでしたら
一度動物病院を受診した方が良いかもしれないです。場合によっては病気になっていることもありますので念のために受診されるのが無難だと思います。