病院に行く為にキャリーに入れて車に乗せると、ストレスや緊張か…

キャリーケースだけでも猫さんにとっては恐ろしく、その上車にも乗るとなると工夫してもなかなかストレスは取り除いてあげられませんよね。。
うちもそんな感じで、毎回うんちまで漏らしてしまいます。
一方、もう1匹の猫はなんと全く動じないのです。
ずっと窓から外や私の顔を眺め、「どこ行くのぉ？」って調子です。
こればっかりは個体差があるのかもしれません。

あまり回答になっていませんが、怖がりの子にはやはり匂いのついたタオル（猫自身と、飼い主さんの匂いがついたお古も効果あり）で包んであげたり、
そういうタイプの子には外の様子は見せないようにするのもいいと思います。