お出かけ自体は大好きみたいなんですが、途中であまり歩かなくな…

質問者様の愛犬は生後2か月程度という事なので、ワクチンの接種が終わってなければ歩かせるよりもむしろ短時間の抱っこ散歩の方が良いです。生後4か月を過ぎてしまうと犬にとって外の刺激は恐怖を大きく感じてしまうのですが、ワクチン接種の問題もある程度クリアする生後3ヶ月頃であれば外の刺激を必要以上に怖がらないのでお散歩しやすいです。
また最初のうちは抱っこにならない程度の短距離、短時間でお散歩を切り上げると良いです。子犬にとっては外の世界はとても刺激的で、疲れやすいと感じました。
私は愛犬を生後半年経った頃にお迎えしたのですが、やはり慣れるまでは短時間でお散歩を切り上げていて、外の世界に抵抗感を示さなくなったら距離を徐々に伸ばしていました。
なので、生後3ヶ月頃に抱っこにならない程度の距離のお散歩を楽しむと良いと考えます。