子猫の時から異様に食欲があるように感じています。肥満が心配で…

子猫の時から異様に食欲があるように感じています。肥満が心配で、フードの量を決めてあたえていますがあ、与えていないと他の何かを食べてしまいます（異食）特に布や紐が好きで、すぐに食べてしまうので猫の生活範囲には置かないようにしています。しかし、最近、防寒対策で置いている段ボールを食べ始めました。暖かくなってきたので取り除いても良いのですが、爪研ぎ用として置いておきたいです。
解決策なにかあれば、ご教授願いたいです。