もうすぐ3か月になります。ケージから出して飼い主と遊ぶ時、手…

人間の手は子犬のとがった 歯がくいこむので噛み心地がよいのかなと思います。
手を噛める事自体が報酬(強化子)になっている場合は繰り返す様になります。特に遊んでいる最中に手を追いかけて噛むのは刺激的で達成感もありそうです。
・手を噛む経験をなくす
・手に違う印象をつける
をやってみてはいかがでしょうか。

・手を噛む経験をなくす
→遊ぶ時はおもちゃやぬいぐるみを持って、その手をタオルでぐるぐる巻きにします。これで、噛まれても手ではなくタオルです。厚手の鍋つかみなども良いかと思います。
犬同士の遊びの中にも数秒ずつ定期的に休止して、少し落ち着く時間がありますので興奮度が上がってきたら小休止を入れるのもおすすめです。

・手に違う印象をつける
→人間の手は噛むものではなく、おやつが出てきたりなでなでしてくれるもの
名前を呼びながらおやつをあげます。おやつは小さく切っておいて、片手で何個も連続であげながらもぐもぐしている時にもう片方の手でなでなでします。
毎日数分でもいいですし、時々でもやっておくと名前にも良い印象がつくので、のちのちおいでなどを教える時に活きてきますし、名前だけでも注目してくれるようになります。
手に良い印象をつけておくと、これからお手入れのトレーニングをしたり抱っこしたりと手を使う時にスムーズにいくと思います。

「噛んだら遊びがおわっちゃうよ」は、パピーライセンスが切れる生後４〜５ヶ月頃からよく理解ができる様になると思います。
楽しんで遊びながら教えていってください。