夜中に急に吠えだしてゲージから出してくれとアピールしていて、…

身体が入って一回りできるくらいの小さめのクレートに入れて
熱が篭らないように工夫して、バスタオルなどかけて視界を遮ると落ち着くかもしれません

うちの子は今は私と寝ていますが、うちに来た当初
寝室内だけれど少し離れた場所にサークル、その中にドアなしクレートだったんですが
落ち着かず。
なので、サークルからクレートを出し、私のベッドの頭の位置の下に置いたら落ち着いて
騒ぐ事がなくなり朝まで寝るようになりました。

また、同じような状況でリビングで当初ダイニングから少し離れたリビングのソファ近くにサークルを置いたら
やはり食事時に大騒ぎ。
ソファはダイニングと仕切る形で置いていたので、ダイニング側(ソファの背の所)に置いたら
騒ぐ事がなくなり私たちの食事時でも「出せ」と要求もせずベッドで寝ています。

どちらも同じ室内の「サークルやクレートの位置」をかえただけで改善しました。

吠えの要求に屈せず生活スタイルを通すのは至難の業です。
一度、「クレート自体が嫌なのか、場所が嫌なのか」など
検証してみてはいかがでしょうか

「夜中吠えたら人が来てケージから出してもらえる」と覚えてしまうので、夜中吠えさせたくない、もしくは夜中起こされたくないかつケージで寝てほしいなら、見に行くのはあんまりオススメはしないです。
犬は自分にとってよかったことは結構すぐ覚えるので…。
確認するとしても吠え声が収まってからのほうがいいですよ。

うちの犬も飼い始め夜中鳴いて呼んでましたが、数日無視してるうちに鳴く時間も短くなり声も小さくなっていきました。
可哀想にも思えましたが、一緒には寝ない、ケージで寝てもらうと決めてたので、グッと我慢しました。

ただ一度すごい声で鳴いたことがあり、「足でも挟まった？！」と確認しにいったら毎晩その声で鳴くようになりました。
この声なら来た！とおぼえたみたいで…。
希望をもたせてしまって、かえって悪いことをしたと家族で反省しました。
しばらく無視してるうちに、また「呼んでもこないのだな」と覚えて、今は普通にケージで寝てます。
（吠え声が収まって10数えてから起きて確認に行ってました）

ケージで寝かせたいなら、成功体験があるので、しばらくは一生懸命よぶと思いますが、防音対策などして早めに呼ばれてもいかないようにするしかないかなと思います。
いっそもうフリーで寝てもいいなら、最初からケージあけておいてもいいかもです。