以前から目やにが多くて目薬をさしています。そのせいか、目の下…

目の下はなみだやけでしょうか。
うちの犬もなみだやけは苦労してます。

なみだやけは、めやにや涙などが毛についてそこで雑菌が繁殖して変色します。
目薬してらっしゃるなら、目薬が目頭の方へ流れてるのもあるかも。

基本的にはこまめに拭き取る対応になります。
ゴシゴシしないで、ティッシュで余分な水分を優しく吸い取る感じです。
こまめに水分を拭き取って、濡れてない時間を増やして雑菌が繁殖しにくくします。
雑菌が繁殖しにくくなるように、重ねてホウ砂入の目薬やスプレーで対策してあげる方もいます。

ただ、１度変色してしまった毛は元の色には戻らないので…。
新しい毛が変色しないようにしてるうちに変色した毛が抜けて黒くなくなるっていう感じかなと思います。