生後7ヶ月くらいから拾い食いをし、取ろうとすると急いで飲み込…

ちょっとズレるかもですが、「アウト」の練習するのはどうでしょうか？

何か咥えてるときに、おやつを握っておいてにおいを嗅がせて、犬がおやつをもらおうと口をあけようとしたら「アウト」のコマンドかけ、犬はおやつをもらう、人は咥えてたものをもらう交換こです。

最初は少し遊んだおもちゃとか、あんまり執着しないのから練習します。
これだと食べちゃうのは（見ててコマンドかければ）なくなるかなと…。

「アウト」のコマンドは見ててかけるタイプのものなので、そもそも「見てなくても食べない」っていうのと違うので、うーんって感じですが…。

スルーの練習するのもいいかもです。

スルーの誘導は、手にフード握っておいて、避けたいものの手前で鼻先へフード握った手を嗅がせてにおいで通り過ぎるのを誘導、うまく通り過ぎられたらご褒美にフード１つって練習します。

この練習すると「落ちてるものをスルーするとご褒美がもらえる」って感じなので、落ちてるもの確認しに近寄らなくなるこが多いです。
ただ、私、多頭で散歩したことなくて…。
多頭で散歩してると、一気にスルーの誘導かけるのがちょっと難しいかな？と…。