朝早く起きて吠え出します。そのため小屋やゲージに防音シートな…

ケージなら天井つけて、段ボールのせるだけでも反響しにくいですよ。

うちは
ケージに天井つけて段ボールのせる
ビニールコーティングしてあるケージカバー
（前面以外は布がかかってる状態）
にしてます。
ウルサイと前面もカーテン？みたいに下ろせるのでおろして視界をさえぎってクールダウンさせてます。

あとはコの字型に段ボールで囲うのもいいし、これから暑くなるのでビミョーかもですが布を毛布とか厚くすると音がこもるし響きにくいですよ。

ケージカバーと段ボールの間に防音シート挟むともっといいかも。
ただ、重ねれば重ねるほど暑くなるし、風を通そうとするとそこから音が抜けるので、兼ね合いがちょっと難しいかもです。