急に散歩に行きたくないと外に行くことを拒み始めました。しかし…

散歩していてなにかトラウマになるようなことがあったのかもしれません。
歩けないわけではないなら散歩自体が嫌いになったのではないとは思いますが。
車に乗ってでかければ近所を歩かなくて済むと思っているのかもしれないですね。
ですので車ででかけて、でかけた先で歩かせればいいとは思います。
また、近所を散歩させたい場合はカートに乗せて公園で歩かせるなどもあると思います。

車のときはサッとでかけたがるってことは外が嫌いとかではないのかな？と思います。

足とか腰とか関節は大丈夫そうですか？
あと太ってると運動おっくうになったりするのでその辺も…。
そういうこだと、お散歩前後にマッサージしてあげるとすこし歩いてくれるかも。
うちの犬は膝蓋骨脱臼があるので散歩前後にマッサージしてます。
マッサージしてあげると足がひょこひょこしなくなるので…。

あとは車でドライブして降りた先で少し歩かせるとかもいいかもです。
気分が変わって歩いてくれるかも。