いつもご飯をよく食べるのですが、食べすぎて体重がどんどん増え…

まだ1歳の猫ちゃんとのことなので、そんなに心配は不要だとは思いますが、みるみる大きくなっていくので、制限をされるなら測って与える、食べ終わるまで見ていてあげる、という方法がおすすめです！

私の飼っている猫も5キロオーバーで、もう13歳になるので病院の先生に食事制限をした方がいいと勧められました。

方法としては、例えば5キロの食べるご飯の量が60gだったとしたら、まずは10g減らした50gを、少しずつ与えてあげます。
私が実践しているのは、猫ちゃんはちょこっと食べが多いと思いますが、もう食べなくなったら下げる、欲しがったらその残りの分量の中から少しずつまた与える、という形を取っています。

猫ちゃんがもりもりごはんを食べてくれるのは嬉しいですが、もし太ってきているなと感じるのであれば少し抑えてあげたほうがいいかもです！
我が家の猫もおせろちゃんと同じくらいの年の頃、ごはんを食べすぎてもちっとしてしまい 病院の先生にゆるっとダイエット宣言をされてしまったことがありました。
ただ猫ちゃんによって食べる量は異なりますし、現状維持できているのならそのままでもいいのかもしれません。

ちなみに太っているかの判断は背骨や肋骨をさわれるかや 四足で立っているとき上から見てくびれが見えるかなどによってできるようですよ！