草木があるとやたらと止まります。別に用を足すわけでも無いのに…

もしかしたら他のわんちゃんの排泄などの匂いを嗅いでいるのかもしれません。
うちの柴くまもそうですが、草木や茂みなど他の生き物から見えない場所で排泄したがるわんちゃんは結構いると思います。
もしくは草木をおもちゃだと思って遊んでいることもありえます。
可能なら公園に行く道を変えてなるべく草木などがないコースにするでしょうか。
また公園が楽しいと思わせることでまっすぐ進むようになるかもしれません。