わんちゃんと遠出やドッグランに行きたいのですが、車酔いが気に…

車酔いは結構個体差が激しいので、なんとも…と思います。

だめな子は車乗せた段階（エンジンかけてなかったり、エンジンかけただけて動かしてなくても）だめらしいです。
いける子は数時間乗せてもケロッとしてるらしいですし。

ただ、長く乗せるなら数時間おきにサービスエリアとかでおろして運動させてあげたほうがいいらしいです。
具体的には書いてない事が多いのでそのへんもその子の体調が悪くなる前に、人がトイレとか休憩取る毎にって感じなのかなと思います。
最近はドッグラン付きのサービスエリアとかありますから、遠出ならそういうの利用されてもいいかも。