私と父は家族のように接し大好きですが、 母がいつまで経っても…

人はどなたでも好き嫌い、苦手なものはあると思います。
生き物の生理的なことでもあるので仕方ないとは思います。
無理矢理仲良くなろうとしてもストレスになるだけですから。
慣れではないのでお母様のことも尊重してあげるといいかなと思います。

ぬーちゃんがお母さまを避けてるのではなくて、お母さまがぬーちゃんを避けていらっしゃるってことですか？

犬が怖いとか昔追いかけられたことあるとかどうしても無理って方はいますので、お母さまから近寄らない分には目こぼししてあげるほうがいいのかなと思います。
もちろん無理強いにならない範囲で誘ったりしてみるのはいいと思いますが…。

犬は怖かったけど、よその犬とうちの犬は違うって方もいるけど…そのへんは本人にもどうにかできるものでもないと思いますので…。