最近ずっと鼻水を垂れ流し続けています。 くしゃみも多発です……

鼻水やくしゃみなら例えば花粉症のようなアレルギー反応もあるかもしれないですね。
最近はわんちゃんも罹るようですし。
また家の中の環境や食べ物という可能性もあるかもしれないのでその点検でしょうか。
そのうえでやはり一度病院で調べてもらった方がいいかとは思います。
原因がわかればいろいろと対処していけると思います。

ワンちゃんは体調が悪いことを訴えることができないです。
飼い主さんがワンちゃんの体調を見て病院に連れていくべくべきか判断しないといけないです。
この場合は病院に連れて行くのが正解だと思いますので早めに行くことをおすすめします。