夜はリビングのケージの中で寝かせていて、家族が起きる前からク…

まだパピーのボーダーの飼い主さんから伺ったしつけの方法です。吠えてはいけないときに吠えたら、金属製のボウルを叩く、などで大きな音を出してびっくりさせる。
このやり方には賛否両論あると思いますが、その飼い主さんはトレーナーさんから教わり、割とすぐに吠えなくなったそうです。
早朝に大きな音を出すほうが却ってご迷惑な気もしますが…参考までに。

ドッグランで一緒になった時も、うちのボーダー（2歳4ヶ月）はなにかあると吠えてましたが、その子は吠えることもなく走り回ってました。

吠えたら応えてあげるとずっと吠えてしまいがちですね。
あまりにも吠えるようでしたらクレートに入れて寝かせてみてはいかがでしょうか。
うちの柴くまも原因不明の吠え方をしていた時期がありましたが、そんなときはクレートに入れて上からバスタオルをかけて真っ暗にして防音していました。
窓から遠い場所に設置しておけば防音対策にはなると思います。
わんちゃんは暗くて狭いところだと安心するので試してみてもいいかなとは思います。

少し前は旦那様が吠えだすとお散歩に連れてってあげてたんですね。
たぶんそれを覚えてて、「起きてるよー！！！お散歩行こうよー！！」と呼んでるんだと思います。

ドッグトレーナーさんにトレーニングに行ってたことがありますが、犬はよかったことは早く覚えるしなかなか忘れないらしいです。
今無視してるなら、そのうちだんだん声もちいさく、時間も短くなってくはず…です。

あとは冬の間日の出が遅かった（７時頃）のが、最近日の出が早まりましたから、それもあって時間帯ずれた（待ってる時間がより長く感じてる？）のもあるかも。

ケージは布とかかけてますか？
かけてなければ布とか（暑くない程度に）かけたりして視界や光をさえぎったりしておくといいかも。
布かけてわかりやすくしておくと、布取るまではここで静かに待つ、と覚えてくれるかも。
あと、開ける時は吠えやんでから、を徹底したほうがいいです。
ボーダーコリーは賢いこです、「今だけ特別」を許してしまうと、犬はそれをわからないので「前はよかったのに？なんで？」みたいな感じになります。