おばあちゃんが残飯やカロリーが高いものなどを何でもかんでもあ…

昭和の時代は、人の残飯をあげるのは結構普通のことでした。
だから、今よりも犬の寿命も短かったです。

言い伝え方ですよね？
まず、いつも世話をしているのは私だという、おばあちゃんのプライドをキズ付けないことですね。
注意するのではダメで、感謝とお願いの気持ちを伝えればきっと変えてくれますよ。
おばあちゃんが、どのくらい犬好きな人かでも違いますし、お金がもったいないからと思っているかもしれませんけど。

「北風と太陽」の話は知っていますか？
旅人のコートを絶対に脱がせようと北風が脱げ脱げ！とどんなに風を強くしてもダメだったが、太陽が優しく日光を浴びせたらすぐに自分から脱ぎました、という話です。

次のように言ってみてください。
「私が大好きなタピーをいつも大切にしてくれてありがとう！」「塩分やカロリーが多いご飯や、犬に必要な栄養が足りないゴハンだと早死したらイヤだから、こういうのに変えて欲しい」と。

「これをあげてみて」と、一袋プレゼントしてみるのもいいかもしれません。