ワンちゃんを譲っていただいたのですがワンちゃんの名義変更…

犬の登録は、自治体のものとマイクロチップのものとあるかと思います。

マイクロチップは今のところは任意なので、入ってるわんちゃんと入ってないわんちゃんがいます。
前の飼い主さんに聞いてみてください。
聞けなかったら、動物病院で入ってるか確認もできると思います。

あと、自治体の登録の変更ですが基本的に役所での手続きかと思います。
保健所が管轄の自治体もあるようなので、自治体の役所に電話などで確認してからがいいと思います。

前の飼い主さんの自治体が違うときは、前の飼い主さんの自治体で犬の転出届をだして、そのあと鑑札(狂犬病の予防接種の登録の小さい札)を持ってご自身の自治体の役所に登録にいくことになると思います。

一応新しく犬を飼い出したときは30日以内に届け出てくださいって目安が出ています。
ただ、多少過ぎてしまっても罰則とかはないはずです。