部屋で飼っているせいか外に出たがりません！お散歩も無理に連れ…

質問者様のワンちゃんの月齢が生後1カ月との事ですが、生後1カ月だとするとワクチンが未接種の状態だと思われます。基本的にお散歩は最後のワクチンを接種してから3週間後からデビューするのが一般的です。なので、どんなに早くても生後5カ月までは外に連れ出す事は控えた方が良いでしょう。
私は愛犬を生後6カ月でお迎えしたので、散歩デビューはいつ頃が良いのかについて獣医さんに聞きました。基本的にワクチン接種後２、３週間は子犬の場合、刺激を与えない方が良いとの事でした。
なので、予防接種後から数週間空けてから再度お散歩にチャレンジすると良いと思います。