壁に傷をつけたりする、部屋を荒らす、ゲージから出てる、ティッ…

もしかするとストレスがたまっているのかもしれません。もっと散歩に行きたい、お友達のわんちゃんと遊びたいなどが考えられます。体力が余っているのでそれを何かにぶつけている可能性です。少し散歩の回数や距離を増やしてみたり、そうでないときは愛情たっぷりのコミュニケーションをとれば軽減すると思います。

お留守番のときのいたずらは、たぶんケージから逃げ出すのがなくなればどれも解決しそうですね。

ケージからどうやって出ていそうですか？
お留守番のときに、使ってないケータイやビデオカメラで録画しておくとどうやって出ているのかわかると思います。

うちの犬は、留守番のとき基本的にはケージで寝てるんですが、物音がするとケージをガチャガチャやったり中でぴょんぴょんしてたのでケージに屋根をつけました。

ケージの別売りの、１枚の網でできてるタイプの屋根をつけちゃったんですが、トイレ掃除とかしにくいのが難点です。
たぶん百均とかホームセンターで横だけ落ちないサイズの網を買ってきて、結束バンドとかでとれないように連結して一部だけめくれるようにしておけばよかった…と思ってます。