とにかくかかむ。小屋から出すとずっとゆびをかみ続けます。…

歯が生えてくるため、歯茎に違和感を感じているのだと思います。痒みと似た感覚を質問者様の愛犬は感じていると思います。
私の愛犬も同じように歯が生えるタイミングで人間の指を噛んだり、ぬいぐるみや毛布を噛みしめたりしていました。歯が生え揃うとカミカミが落ち着きました。なので今後も質問者様が既に実行されているように、ガムを与えると良いと思います。ガムならば、誰も痛い思いをしなくて済む上に犬の口腔環境にも良い影響を与えられると考えます。