いままで他の家族に世話してもらっていたので、自分がどうやって…

猫の世話、と聞いてまず頭に浮かんだことは、トイレ掃除です。
猫ってトイレに関しては神経質なイメージがあるのです。
排泄した都度掃除することは難しくても、出来るだけマメに掃除してあげるといいと思います。
また、その様子をじーっと陰から見てるんですよ。

トイレ本体を定期的に丸洗いしてあげると更にいいと思いますよ。

あとは食事や新鮮なお水を出して、猫用のおもちゃで１０分～１５分程遊んであげることでしょうか（遊びに乗ってこない時は無理強いはしない）。

つかず離れずのごく自然な距離感でいるのがいいと思います。

楽しんでくださいね。