遊んでいると最初はおもちゃを噛んでいるのですが、だんだん…

我が家のジャックラッセルでも相当苦労しました。
仰るように最初はおもちゃ➡だんだん指、手の甲、腕などに移り、常に私の手はうっ血したブス色になっていたのを思い出します。
生後2ヵ月ということでしたら、おそらくこれから乳歯も抜けてくると思うので、余計に悪化する可能性があります。

そのため、はやり噛むことはだめなんだよっていうのを教える必要があると思います。
よく私がやったのは、
①おもちゃから私の手に意識が移ったらバンザイをして絶対に手を咬ませない。
本人が落ち着きまたおもちゃに戻ったら手は降ろすの繰り返しです。
②トリマーさんやトレーナーさんからは、噛んだら大きな音を立てる
噛むと大きな音がするんだよと伝えることによって、音を嫌がりやらなくなります。
③あとは、痛い！とか、やめて！とかこちらが騒ぐと、犬からすれば自分と同じで楽しんでくれている！と勘違いするそうなので、あえて声を出さない。

我が家は本当に本当に噛み癖がひどく、育て方に本当に苦労しましたが、今はほぼありません。
たまにストレスが溜まっているときはあえて私の手を咬んで遊んでくれっていう風つに伝えてきますが、これに対しても昔と同様のことをして回避しています。
今やらないと、大きくなったら今の何倍も苦労すると思うので、頑張ってみてください！

甘噛みのうちに対処しておかないとエスカレートして本噛みになってしまいます。
成犬になって本噛みになったらケガしますし、主従関係も構築できなくなってしまうので、しつけするなら今のうちです。
まず興奮を抑えるようなコマンドを教え込みます。
それでも噛んだら、出来るだけ低い声できつく短く唸るように叱ります。
人が本気で叱っているとわからせるまで何度もやります。
噛んだら叱られると刷り込むことで、噛むことは結果楽しくないことと理解させます。

たぶん楽しくて楽しくてテンションがばくあがりして、動くものに見境なくじゃれついてるんだと思います。
唸るのも怒ってる時だけじゃなくて、興奮してても唸りますよ。

うちの犬も小さいうちは遊んでて楽しくて楽しくて興奮してくると、おもちゃも人の手も服の裾も見境なくじゃれついてきました。

遊んでて唸ったりプレイバウ（お尻を高くあげるポーズ）になったりしたら、遊ぶのをやめてクールダウンするようにしたほうがいいです。
うちは小さいうちは、遊びおしまいってしても興奮が残ってて勝手に遊び続行してじゃれがみしてきたので遊びおしまい、ってキャリーバッグやケージへハウスさせて落ち着かせてました。
今は遊んでて唸りだしたら「終わり」と声かけすると、終わりって犬もわかってくれて噛んだりとかしなくなりました。

まだたった2か月ですから、知能も発達してないので、加減もわからないのですよ、飼い主さんが痛いと感じたらだめ、それでわからないなら、背中を痛いくらいにつまんでしかるのもわかるようになる方法です、犬の母親がかんで教えるのとおなじやり方、それから、遊び相手になっても、止める時は飼い主から、そうしないと子犬の時はいつまでもやめません、成長するにつれ、主従関係ができると犬のほうもやめ時も理解します、唸るのも興奮してるからで、怒ってるわけでないです、